Die Zeitgleichung

Eine einfache Formel zu Sonnenaufgang und Untergang

Nicht selten erhalten wir folgende Frage: "Bitte senden Sie mir eine einfache aber genaue Formel zur Berechnung von Sonnenaufgang und Sonnenuntergang". Die Begriffe "einfach" und "genau" widersprechen sich. Im Folgenden versuchen wir, einen brauchbaren Kompromiss zwischen "einfach" und "genau" zu finden. Die erreichte Genauigkeit wird bei wenigen Minuten liegen - genau genug für die Auf- und Untergangszeiten der Sonne.

Es gibt neu nun die Version 2005. Sie ist ausführlicher und genauer, jedoch noch nicht ausgiebig getestet. Zur Version 2005

Zunächst müssen ein paar Hilfsmittel bereitgestellt werden. Im Folgenden wird auf ein paar grundsätzliche Eigenschaften der scheinbaren Sonnenbewegung am Himmel eingegangen.

Unterschiede zwischen Sonnenuhr und Armbanduhr.

Traditionell basiert unsere Zeitrechnung auf dem (scheinbaren) Lauf der Sonne. Erst in moderner Zeit wurden Zonenzeiten und Atomuhren eingeführt. Wenn die Sonne genau im Süden steht, ist es 12 Uhr Mittags (sogenannte Ortszeit). Die Zeit zwischen zwei Mittagen beträgt genau 24 Stunden. Zumindest sollte es so sein, doch gibt es Abweichungen.

Fig. 1 Zeitgleichung: Differenz zwischen wahrer und mittlerer Ortszeit in Minuten. © R. Brodbeck.

Die Erde dreht sich in 23 Sunden und 56 Minuten einmal um ihre eigene Achse. Die restlichen 4 Minuten bis zur Ereichung der vollen Länge des Tages von 24 Sunden erklären sich dadurch, dass wir im Laufe des Tages etwas auf der Umlaufbahn der Erde um die Sonne vorangekommen sind. Deshalb steht die Sonne in einer leicht andern Richtung. Die Erde muss sich noch 4 Minuten (ca. = 24 Stunden / 365) lang weiter drehen, bis für den gleichen Ort die Sonne wieder genau im Süden steht.

Die Neigung der Erdbahn und die leichte Exzentrizität der Erdbahn bewirken, dass die wahre Taglänge (Zeitspanne zwischen Mittag und dem folgenden Mittag) um den Mittelwert 24 Stunden schwankt. Man denkt sich eine mittlere Sonne, die scheinbar entlang des Himmelsäquators mit konstanter Geschwindigkeit läuft. Für einen vollständigen (scheinbaren) Umlauf um den Himmelsäquator benötigt diese mittere Sonne wie die reale Sonne ein Jahr. Die mittlere Ortszeit bezieht sich auf diese mittlere Sonne.

Eine mechanische (oder elektronische) Uhr läuft gleichmässig: Jeder Tag hat 24 Stunden. Deshalb kann eine solche Uhr nur die mittlere Otszeit anzeigen. Die wahre Sonne kann bis zu 15 Minuten zu früh oder zu spät im Süden stehen als die gedachte mittlere Sonne. Diesen Unterschied wird Zeitgleichung genannt. Die Zeitgleichung kann auch als Unterschied zwischen einer die Ortszeit anzeigenden mechanischen Uhr und einer Sonnenuhr verstanden werden.

Die Zeitgleichung einfach dargestellt

Die Bewegung der Erde um die Sonne ist genau betrachtet eine komplizierte Angelegenheit. Selbst wenn die Erde der einzige Planet wäre, hätte es mit einer nur nummerisch (d.h. nur durch spezielle Näherungsverfahren) lösbaren Gleichung zu tun. Die Erdbahn erfährt zudem noch kleine Störungen durch die anderen Planeten. Dies alles zu berücksichtigen, würde die eingangs gestellte Forderung nach Einfachheit verletzen.

Wir müssen deshalb einen anderen Weg gehen. Dieser besteht darin, dass wir durch die genauen Werte der Zeitgleichung eine Näherungskurve legen. Wenn man sich die in Fig. 1 als Funktion der Tagnummer dargestellte Zeitgleichung ansieht, so kann man sich zwei sich überlagernde harmonische Schwingungen vorstellen. In der Tat lässt sich damit mit der folgenden, aus zwei harmonischen Schwingungen zusammengesetzten Formel die Differenz zwischen Wahrer Ortszeit (WOZ, Sonnenuhr) und mittlerer Ortszeit (MOZ) auf besser als eine Minute genau annähern:

Zeitgleichung:

wobei T die Tagnummer darstellt. Der erste Januar hat die Nummer 1, der zweite Januar die Nummer 2 usw.

Die oben stehende Formel für WOZ - MOZ enstand aus einem chi2-Fit durch die Tabelle der richtigen Werte für das Jahr 2000. Um das Ziel der Einfachheit zu erreichen, wurde eine Modellfunktion mit so wenig Parameter wie möglich aber so vielen wie nötig verwendet. Natürlich sind dadurch die Werte nicht mehr direkt durch Eigenschaften der Erdbahn verständlich erklärbar oder herleitbar.

Die Deklination der Sonne

Fig. 2: Die Deklination der Sonne im Jahreslauf. © R. Brodbeck.

Die Höhe über dem Horizont eines Gestirns beim passieren der Südrichtung (Meridian) bestimmt, wie lange es über dem Horizont bleibt. Mit der Zeitgleichung kennen wir den Zeitpunkt, zu dem die Sonne im Süden steht (Mittag). Wenn wir noch wissen, wie lange die Sonne über dem Horizont bleibt, können wir die Aufgangs- und Untergangszeit berechnen. Dazu brauchen wir die Deklination der Sonne. Vereinfacht gesprochen ist die Deklination eines Gestirns der Breitengrad über dem das Gestirn im Zenit steht (dies stimmt nicht exakt, weil die Erde keine Kugel ist). Die Deklination der Sonne stellen wir als einfache harmonische Schwingung dar. Im Gegensatz zur Zeitgleichung nehmen wir hier also die Näherung einer kreisförmigen Erdbahn an:

Auf- und Untergang

Die Zeit, die vergeht, bis die Sonne vom wahren Mittag bis zum Erreichen eine bestimmten Horizonthöhe h erreicht, kann durch folgende Formel dargestellt werden. Sie ist exakt für Punkte, deren astronomische Koordinaten (Deklination, Rektaszension) fix sind, und der Einfluss durch die Erdatmosphäre ignoriert wird:

wobei B die geographische Breite bedeuten soll. Wenn das Argument des arccos im Betrag grösser als eins ist, so erreicht die Sonne im Laufe des Tages nie die geforderte Horizonthöhe h. Dies kann z.B. im hohen Norden während der Polarnacht der Fall sein oder während der Zeit der Mitternachtssonne.

Auf- und Untergangszeit in mittlerer Ortszeit:

Unsere Uhren zeigen jedoch nicht die mittlere Ortszeit unseres Beobachtungsorts an, sondern eine bestimmte Zonenzeit. Diese Zonenzeit ist die mittlere Ortszeit eines bestimmten Längengrades. Die Weltzeit ist z.B. die mittlere Ortszeit von null Grad Länge.

Zeitzone ist die Differenz Zonenzeit - Weltzeit. In Mitteleuropa beträgt diese Differenz während der Winterzeit eine Stunde, während der Sommerzeit zwei Stunden.

Fig. 3: Sonnenuntergangszeiten und Dämmerung für Zürich in Mitteleuropäischer Zeit, d.h. die Sommerzeit wird nicht berücksichtigt. © R. Brodbeck.

Fig. 4: Sonnenauf- und Unterganggszeiten sowie Dämmerungen für verschiedene geographische Breiten. Höhere Auflösung. © R. Brodbeck.

Das Licht der Sonne wird in der Atmosphäre gebeugt. Es läuft besonders in Horizontnähe auf einer leicht zum Boden hin gekrümmten Bahn. Deshalb kann man die Sonne auch noch sehen, wenn sie rein geometrisch schon untergegangen ist. Deshalb wird der Untergang und auch der Aufgang der Sonne für eine geometrische Horizonthöhe h von -50 Bogenminuten berechnet. Von bürgerlicher Dämmerung spricht man, wenn h= -6 Grad ist, nautische Dämmerung entspricht h = -12 Grad und schliesslich astronomische Dämmerung entspricht h = -18 Grad.

Mit den oben stehenden Formel lassen sich, abgesehen für die Polarregionen Sonnenaufgang und Untergang sowie die Dämmerungszeiten auf besser als 5 Minuten berechnen.

Es soll der Sonnenaufgang für Berlin am 30. Januar bestimmt werden.

Berlin liegt auf  13.4 Grad Ost, 52.5 Grad Nord
30. Januar bedeutet T = 30 (Bruchteile von Tagen zu berücksichtigen bringt nichts)
(für den 1. Februar wäre T = 32)

B = Pi *52.5 / 180 = 0.9163

Deklination der Sonne:
0.40954*sin(0.0172*(30-79.349740))  = -0.30731 = -17.4 Grad

Sonnenaufgang h=-50 Bogenminuten = -0.0145

Zeitdifferenz
= 12*arccos((sin(-0.0145) - sin(0.9163)*sin(-0.30731)) / (cos(0.9163)*cos(-0.30731)))/Pi
= 4.475 Stunden.

Sonnenaufgang um 12 - 4.475 = 7.525 Uhr Wahre Ortszeit.

Zeitgleichung :
-0.1752*sin(0.033430 * T + 0.5474) - 0.1340*sin(0.018234*T - 0.1939)
= -0.222 Stunden = WOZ - MOZ

MOZ = WOZ + 0.222 Stunden = 7.747
= 7.847 Uhr in MEZ für Berlin. 7.847 = 7.747 + (15 - 13.5)*4/60
Die MOZ des 15. östlichen Längengrades ist die Mitteleuropäische Zeit MEZ.

Also, Sonnenaufgang für Berlin um 7 Uhr 51!

Ein Vergleich mit CalSKY.com (auch ein Service von astro!nfo) ergibt 7 Uhr 52 für den Sonnenaufgang.
Das ist OK, mit so einfachen Formeln kann man keine bessere Genauigkeit erwarten.

Ich hoffe, dieses Zahlenbeispiel hilft bei der Anwendung dieser Formeln. Beachten Sie auch, dass Sie die Formeln bei uns in einem Java-Script angewenden können. » HIER

Kontakt zum Autor: Bevor Sie ein E-mail mit dem Betreff "alle Formeln falsch" schreiben, sollten Sie wissen, dass es Leute gibt, die ganz gut damit klargekommen sind. Auch das Java-Script arbeitet ja genau mit diesen Formeln. Sie sind nicht der Erste, der sich unabhängig damit auseinandersetzt. Sind Sie sicher, dass Ihr Taschenrechner für sin und cos auf Bogenmass (rad) umgestellt ist? Haben Sie daran gedacht, dass das Ergebnis der Zeitgleichung Stunden und nicht Minuten sind (z.B. sind 0.25 Stunden = 15 Minuten)? Ein freundlicher Tonfall wird Missverständisse schneller klären helfen. Fragen bitte per E-mail via Redaktion CalSKY.com. Sie können problemlos auf Deutsch schreiben.
Haftungsausschluss: Der Autor übernimmt keine verbindlichen Garantien für die Anwendbarkeit und Richtigkeit der in diesem Artikel angegebenen Formeln. Man Vergleiche die Ergbenisse auf jedenfall zuerst mit anderen Berechnungen, z.B. mit den online abfragbaren Auf- und Untergängen von CalSKY!